2017年青岛理工大学理学院816高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 则 线性无关， 均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使 C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ， D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 记 A. B. C. D. 【答案】B 则（ ）. 【解析】由已知，有 于是 5． 设A 为4×3矩阵，常数，则 是非齐次线性方程组 的3个线性无关的解， 为任意 的通解为（ ） 【答案】C 【解析】由 于又显然有基础解系. 是非齐次线性方程 组，所以有解矛盾） 的三个线性无关的解，所 以从而 是 的一个 是对应齐次线性方程组（否则与 的两个线性无关的解. 考虑到 是的一个特解，所以选C. 二、分析计算题 6． 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3, 向量程组 的两个解. （1）求A 的特征值与特征向量； （2）求正交阵Q 和对角阵A ，使（3）求A 及 其中E 为3阶单位矩阵. 是线性方 【答案】（1）由于A 各行元素之和为3, 所以 因为故 即 是A 的二重特征值， 是A 属于特征值0的两个线性无关特征向量，且A 属; 不全为0） 再单位化 得 令（3）因 那么Q 为正交矩阵，且 且Q 为正交矩阵，故 由此得， ，所以 7． 设A 是n 阶方阵，且 【答案】解法1:因为 所以 又因为 于特征值0的全体特征向量为A 属于3的特征向量，且 （2）对 正交化，令 是A 的一个特征值，是 是A 属于3的全体特征向量. （E 是n 阶单位矩阵，，是A 的转置矩阵） 求