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一、选择题

1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

是（ ）二次型.

分别为A ，B 的伴随矩阵，

2． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 设均为n 维列向量，A 是

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

5． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

线性相关，所以线性相关，故选A. 矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D

【解析】

秩未知量个数，有零解.

二、分析计算题

6． 设A 、B 分别为数域P 上一个秩为

的

矩阵和

矩阵，令AB=C.证明：如秩A=r，则数域P 上存在

矩阵D , 满足对于数域P 上任何n 阶方阵Q ，有

的

矩阵D , 满足

有A （DQ+B）

【答案】由于AB=C, 欲证存在秩为

=C，即

ADQ=0.

因为r （A ）=r, 所以存在m 阶可逆矩阵P ，s 阶可逆矩阵R , 使

取

这里

则

有

7． 试就实数域和复数域的两种情况，求

【答案】令其中（1）因为况：

（i ）

当n=2k时，有

（ii ）当 n=2k+l 时，有

（2）由①式可知，f （x ）在复数域上的标准分解式为

8．

设

证明：【答案】因为

为偶数.

故

由①式知，

在实数域的标准分解式可分为两种情

. 则

那么

的标准分解式.