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一、证明题

1． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，

样本均值分别为

将两组样本合并，其均值、方差分别为

证明:

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

2． 设

为独立随机变量序列，且

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

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样本方差分别为

【答案】因

服从大数定律.

3． 证明:对正态分布，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在.

4． 证明公式

【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出

而对

对

其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在 5． 设和方差,

（2）当

【答案】 （1）由由于X 的概率密度为

所以

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时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大

时都为0, 等式得证.

分别为样本的均值

也相互独立,

所以

是来自总体x 的简单随机样本,

, 证明:

时,

相互独立知,

（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,

由此证得（2）由

由于

, 所以

与

相互独立知,

与

也相互独立, 从而

①此外, 由

知从而将①, ②代入

可得

① ②

从而得到目的最大似然估计量为

6． 证明:对任意常数c , d , 有

）

【答案】

由

得

因而结论成立.

7． 设

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明:（2）计算

和

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，

，故

最优.

，

都是的无偏估计；

（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为

，

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