2018年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1. 设
是来自
的样本,
是来自
的样本,两总体独立.c ,
d 是任意两个不为0的常数,证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立,故
于是
与分别是两个样本方差.
2. 设由
明:样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数.
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可建立一元线性回归方程,是由回归方程得到的拟合值,证
【答案】因为|即,将之代入样本相关系数r 的表达式中,即有
证明完成.
3. 设
是来自
的样本,证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计,则
由上式可知,等式的左边关于处处可导,而等式的右边在因此,假不成立,即
4. 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立,特给定
使得
所以X 与
5. 设随机变量
【答案】
6. 设二维随机变量(X ,Y )的联合密度函数为p (x ,y ),证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ,y )(可分离变量,即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立,则
,即p (X ,y )可分离变量,其中
下证充分性:因为
,所以记
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【答案】(反证法)假设
处不存在导数.
没有无偏估计. 且密度函数所以
是偶函数,假定
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:X 与不相关.
为证明
不独立.
,试证明:
又问与边际密度函数有什么关系?
,必要性是显然的,因为X 与Y 相互
.
由联合密度函数的正则性,得
又因为
9 »
由此可得
x )所以x 与y 相互独立,且从以上的证明过程可知:h (与也相差一个常数因子
,这两个常数因子的乘积为1.
且X 与Y 独
7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立,
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
8. 设
【答案】一方面
另一方面
的特征函数,由唯一性定理知,证明:
相差一个常数因子,
二、计算题
9. 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为
试求 (1)常数k ; (2)(3)(4)
;
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