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2018年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题

  摘要

一、证明题

1. 设

是来自

的样本,

是来自

的样本,两总体独立.c ,

d 是任意两个不为0的常数,证明

其中

【答案】由条件有

相互独立,故

于是

与分别是两个样本方差.

2. 设由

明:样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数.

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可建立一元线性回归方程,是由回归方程得到的拟合值,证

【答案】因为|即,将之代入样本相关系数r 的表达式中,即有

证明完成.

3. 设

是来自

的样本,证明

没有无偏估计.

的无偏估计,则

由上式可知,等式的左边关于处处可导,而等式的右边在因此,假不成立,即

4. 设随机变量X

有密度函数Y=与

不相关、但不独立. 【答案】因为

不相互独立,特给定

使得

所以X 与

5. 设随机变量

【答案】

6. 设二维随机变量(X ,Y )的联合密度函数为p (x ,y ),证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ,y )(可分离变量,即

【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立,则

,即p (X ,y )可分离变量,其中

下证充分性:因为

,所以记

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【答案】(反证法)假设

处不存在导数.

没有无偏估计. 且密度函数所以

是偶函数,假定

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

证明:X 与不相关.

为证明

不独立.

,试证明:

又问与边际密度函数有什么关系?

,必要性是显然的,因为X 与Y 相互

.

由联合密度函数的正则性,得

又因为

9 »

由此可得

x )所以x 与y 相互独立,且从以上的证明过程可知:h (与也相差一个常数因子

,这两个常数因子的乘积为1.

且X 与Y 独

7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立,

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

8. 设

【答案】一方面

另一方面

的特征函数,由唯一性定理知,证明:

相差一个常数因子,

二、计算题

9. 设随机变量(X , Y )的联合密度函数为

试求 (1)常数k ; (2)(3)(4)

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