2017年云南师范大学物理与电子信息学院721高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线密度为
上一段弧
，即
【答案】薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域D 上的二重积分（图）
与直线
所围成，它的面
。求这薄片的质量。
图
2． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
小值。
3． 确定闭曲线C ，使曲线积分
达到最大值。
【答案】记D 为C 所围成的平面有界闭区域，C 为D 的正向边界曲线，则由格林公式
要使上式右端的二重积分达到最大值，D 应包含所有使被积函数包含使被积函数小于零的点。因此D 应为由椭圆逆时针方向的椭圆
=1时，所给的曲线积分达到最大值。
的直线方程.
大于零的点，而不
所围成的闭区域。这就是说，当C 为取
4． 求过点（4，﹣1，3）且平行于直线
，直线方程即为
【答案】所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s= （2 ，1，5）
5． 求螺旋线
【答案】
在点
处的切线及法平面方程。
点（a ，0, 0）所对应的参数于是切线方程为
，故曲线在给定点的切向量
即
法平面方程为
即
6． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积:
（1）（2）
，
，由于图形关于极轴的对称性（如图1），
【答案】（1）首先求出两曲线交点为
因此所求面积为极轴上面部分面积的2倍，即得
（2）首先求出两曲线交点为
和
，因此有
由于图形的对称性（如图2）
图
1
图2
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