2018年新疆农业大学林学与园艺学院610大学数学2之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
3． 设
A 为
的解为【答案】由利用反证法，
假设以有
解矛盾，
故假设不成立
，
则
由
.
4． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵
（
Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，则当g=0时，则值的特征向量.
由
知
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
且
有唯一解. 证明
：矩阵
为A 的转置矩阵）.
易知
则方程组
.
即
即有
可逆.
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使.
所只有零
有非零解，这与
的特征向量
； 的特征向量；
也是矩阵的一个特征值；
矩阵
有惟一解知
有非零解，即存在
得
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1,
-1
,
0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
知
的基础解系，即为
的特征向量
二、计算题
5．
已知
（1）能由（2）
不能由
，
故
（2）
方法二：（1）
无关）；又
，
表示.
（2）反证法：若由
能由
线性表示，而由（1）
, 可由线性相关.
于是
线性表示. 这样
，
也就能，此与
相矛
线性表示，
从而可知
向量组向量组
线性表示；
线性表示.
，
知则知能由
，则知不能由
线性无关
线性相关. 于是
，必能由
，又己知 线性表示
； 线性表示.
（惟一地）线性
证明
【答案】方法一：（1
）由
线性无关（整体无关则部分
盾.
6． 设
n 阶矩阵A
的伴随阵为
（1）若（2）【答案】⑴因要证与
用反证法
：设
则
当
证明：
时，
上式成为
是可逆矩阵，用
左乘上
此
的所有元素均为零.
这导致
由矩阵可逆的充要条件知.
时，结论成立；
式等号两边，
得A=0.于是推得A 的所有
n-1阶子式，亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明
，当（2）分两种情形： 情形1:情形2:于是
由（1）,
在两边取行列式，得
相关内容
相关标签