2018年上海外国语大学国际金融贸易学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足
AB=£
；的所有矩阵为其中为任意常数.
2．
设A 为
的解为【答案】由
矩阵
且有唯一解
. 证明
：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，且方程组只有零解.
使.
所只有零
有惟一解知
则方程组. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾
，故假设不成立，则
由.
3． 已
知实二次
型
得
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解
，
这与
的矩阵
A ，
满足
且其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，
并写出所用正交变换及所得标准形
； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）由
由
知，B 的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值
即
是属于A 的特征值.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B
的第1, 2
列线性无关
，量，从而知A 有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
4． 已知
A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到所以矩阵
的基础解系为
又知齐
次方程组Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，
求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，
有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可