2018年上海外国语大学国际关系与公共事务学院396经济类联考综合能力之工程数学-线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故 2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因与
可知
综上可知， 3． 已知
有
即
故都是
的解. 由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
，求
【答案】
令
则
且有1
所以
4． 设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值
，故4
可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0
时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征值
而
仅对应1个线性无关的特征向量
，故此时A 不可对角化.
二、计算题
5． 已知向量组A :
B ；证明B
组能由A
组线性表示，但
A 组不能由B 组线性表示.
【答案】B 组能由A 组线性表示A 组不能B 组线性表示体计算如下：
于是R （B ）=2，R （B ，A ）=3, 并且上式右端矩阵的后三列所构成矩阵与矩阵A 行等价，继续对它作初等行变换，得
所以R （A ）=3.合起来有
具
于是，B 组能由A 组线性表示，且
A 组不能由B 组线性表示