2018年上海外国语大学国际关系与公共事务学院396经济类联考综合能力之工程数学-线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2．
设的所有矩阵.
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
3．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_
所有非零解
_
t 为任
意非零常数.
因此，
所有非零列向量
4．
已知
且
.
求
又
又
知
即
得
故
知
故
【答案】
由题意知
二、计算题
5． 判定下列二次型的正定性：
（1
）（2
）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1
阶主子式
3阶主子式，
即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2
阶主子式
知f 为正定二次型.
6． 试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵：
（1
）
，3阶主子式，即
则
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
（2
）
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