2017年南京理工大学理学院840高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。
【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为
，取Y 为积分变量，Y
，γ表示水的密度，
图
2． 求由曲线
，直线x=4及x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。
【答案】如图，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 4]，因此体积为
图
3． 将函数
【答案】
展开成傅里叶级数
是偶函数，故
因f （x ）满足收敛定理的条件，且在
上连续，故
4． 求下列幂级数的收敛区间：
【答案】（1）
因
故收敛半径为（2）
收敛区间为
因
故收敛半径为（3）令
即
收敛区间为
先讨论级数
的收敛区间。
因
级数的收敛区间为
（4）令
，原级数成为
故收敛半径
的收敛区间为从而原
由第（3）题知该级数的收敛区间为因
故原级数的收敛区间为 5． 计算域。
【答案】解法一：由
，其中
是由锥面与平所围成的闭区
与消去Z ，得
故在面上的投影区域
（图）则
于是
解法二：用过点（0，0，Z ）
、平行于
，面积为
（图）
于是
面的平面截
得平面圆域
，
其半径为
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