2017年北京理工大学工业与系统工程统计学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、简答题
1． 正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？
【答案】（1）正态分布所描述的随机现象具有如下特点： ①正态曲线的图形是关于
的对称钟形曲线，且峰值在
处；
②正态分布的两个参数均值和标准差一旦确定，正态分布的具体形式也就唯一确定，不同参数取值的 正态分布构成一个完整的“正态分布族”。
③正态分布的均值可以是实数轴上的任意数值，它决定正态曲线的具体位置，
标准差相同而均值不同 的正态曲线在坐标轴上体现为水平位移。
④正态分布的标准差⑤当
为大于零的实数，它决定正态曲线的“陡_”或“扁平”程度。
越大，正
态曲线 越扁平；越小，正态曲线越陡峭。
的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，正态曲线的左右两个尾端也无限渐近横轴，
但理论上永远不会与之相父。
⑥与其他连续型随机变量相同，正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1。
（2）如果原有总体是正态分布，那么，无论样本量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。若原有 总体的分布是非正态分布，随着样本量的增大（通常要求方差为总体方差的
），不论原来的总
体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值
这就是统计上著名的中心极限定理。因此许多随机现象服从或近似服从正
态分布。
2． 方差分析中的基本假定。
【答案】方差分析中有三个基本假定：（1）每个总体都应服从正态分布。也就是说，对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单随机样本；（2）各个总体的方差立的。
3． 试述统计总体及其特征。
【答案】总体是包含所研宄的全部个体（数据）的集合，它通常由所研宄的一些个体组成，如由多个企业构成的 集合，多个居民户构成的集合，多个人构成的集合，等等。总体根据其所包含的单位数目是否可数可以分为有限总体和无限总体。有限总体是指总体的范围能够明确确定，而且元素的数目是有限可数的。通常情况下，统计上 的总体是一组观测数据，而不是一群人或一些物品的集合。
必须
相同。也就是说，对于各组观察数据，是从具有相同方差的正态总体中抽取的；（3）观测值是独
总体具有的特征包括：（1）同质性，即总体单位都必须具有某一共同的品质标志属性或数量标志数值，它是 构成总体的条件；（2）大量性，即构成总体的总体单位数目要足够多；（3）差异性，即总体单位必须具有一个或 若干个品质变异标志或数量变异标志。
4． 在投掷一枚均匀硬币进行打赌时，出现正面时投掷者赢5元，出现反面时输3元，记投掷者赢钱数为X 。试写出此问题的样本空间
【答案】记赢钱数为则的函数定义为：
则有
于是X 的概率分布为：
以及随机变量X 的定义和概率分布。
其中
为投掷后出现的两种结果，令
5． 统计数据质量的基本标准是什么？
【答案】（1）准确：用数字语言来反映客观实际；（2）快速：统计信息服务必须具有时效性和紧迫性；（3）完整：调查单位没有遗漏，调查项目没有缺陷，资料数据齐全；（4）精练：统计信息具有针对性、有效性、精确性。
6． 中心极限定理。
【答案】设随机变量
令
则
也就是说，当n 趋于无穷大时，
的分布趋向于标准正态分布
相互独立（S 卩，对任意给定的
相互独立）且服从同一分布，该分布存在有限的期望和方
差
二、计算题
7． 设随机样本
密度函数为
来自正态总体
为方差，正态分布. 的
（1）求未知参数的极大似然估计量； （2）是的相合估计量（g 卩：
时，依概率收敛到）吗？请说明理由；
（3）从无偏性与均方误差两个方面对的3个估计量【答案】（1）似然函数：对数似然函数：似然方程：求解似然方程：
具体过程略。
进行评价。
注1:估计量的均方误差定义注2:自由度为的
分布的期望与方差分别为与
即参数的极大似然估计量为：（2）即说明
（3）从无偏性考虑：
可见，
是的无偏估计量，
与
是的有偏估计量。
8． 某汽车租赁公司的财务主管发现有位司机报销的年度维修费用过高，你怀疑他和汽车维修公司合伙，开 出虚高的发票。这位财务主管收集了 5位非常可靠的司机的汽车年度维修费用和对应的汽车使用年限数据（见表 1）。以年度维修费用为因变量y ，相应汽车的使用年限为自变量x , 建立回归模型
在EXCEL 中，通过回归分析，得到表5和表6的输出结果。这位司机提交的年度维修费用