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一、选择题

1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D

【解析】

2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

3．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

【答案】（A ）

4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E

C.A D.-A 【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

5． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

二、分析计算题

6． 证明:

一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根，

要且只要存在一个有理系数多项式

使【答案】

显然，a 是

的根，因而也是

的根，令

则

若由

则

可知

如此继续，总有一个时刻，使

的根

.

设为非零有理系数多项式

因而我们不妨在等式

中设从而有

其中，显然有 7． 设

是线性空间V 的线性变换.

则

【答案】任取则由于

并令

故得

于是由（17）得

故

又若

从而

故（18）是直和.

则仍由

8． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式：

【答案】用辗转相除法可得

即

故f （x ）有重因式. 又因为

故x-4与x+1是f （x ）的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，x-4是f （x ）的单因式，而x+1是 f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为

②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得

则有

令

为有理系数多项式，且

证明：如果

知：