2018年海南大学园艺园林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
目录
2018年海南大学园艺园林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（一）.... 2 2018年海南大学园艺园林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（二）.. 12 2018年海南大学园艺园林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（三）.. 19 2018年海南大学园艺园林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（四）.. 28 2018年海南大学园艺园林学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研核心题库（五）.. 34
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
为任意常数.
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
3． 已知三元二次型
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵
，因此B 是正定矩阵，且
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换
； （Ⅱ）若A+kE:五正定，
求k
的取值. 【答案】（
Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量
.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得 4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5．
已知
到基
的两个基为的过渡矩阵P.
【答案】
记矩阵
为3阶可逆阵. 由过渡矩阵定义
，
可求得P 如下：
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
.
求由基
从而
相关内容
相关标签