2018年海南大学园艺园林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
得
故
知
故
【答案】
由题意知
使或1.
3．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
4． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
二、计算题
5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.
6． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U ,
使处的值
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n
记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知
7．
设
（1
）证明
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A 与对
角阵
=1, 从而R 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）=1,
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
记
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
任取
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先
证明
相似，
其中
于是只有一个非零对角元，
即
其次，求A 的非零特征值，
因
再求A 的特征向量.
①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，
从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：