当前位置：问答库＞考研试题

一、简答题

1． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

2． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。

【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。

3． 写出电子在外电磁场【答案】

4． 写出在【答案】

5． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

6． 波函数【答案】

与

7． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

8． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

中的哈密顿量。

表象中的泡利矩阵。

是否描述同一状态？

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

问是否

9． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

10．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

二、计算题

11．（1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数

：随时间演化的动力学方程

：（2）用

对称性波函数

；

反对称性波函数。其

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

表示出体系可能的状态如下：

12．设已知在，值为

的共同表象中，算符

的矩阵分别为

试在取

的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.

设

的本征态矢为

则由

【答案】可能取得的值有可以解得同理由

为

可以解得

概率为

时态矢为

概率为

态矢

平均值为

13．设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为

第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为

第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.

设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.

【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子

此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有

其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子

此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：

其简并度为1.

体系第一激发态能量为：其简并度为3.

14．两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

其简并度为：3×3=9.

Ⅰ