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一、解答题

1．

设

为三维单位列向量，并且

记

证明：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A

相似于矩阵

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知向量.

又且

另外，由

故可知

为A 的特征值

，为4的2重特征值

，

为对应的特征向量.

为A 的3个

为4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且

为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故

线性无关的特征向量，

记

2．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

则

即A

相似于矩阵

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

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得到矩阵B 的特征值也是

当

时，由秩

知

A

可以相似对角化. 而

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有

1个线性无

只有1个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵

A 和B 不相似

.

3． 设二次型

矩阵

A 满足

AB=0, 其中

（Ⅰ）用正交变换化二次型

（

Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

为标准形，并写出所用正交变换；

记

值（至少是二重），

根据

值是0, 0, 6.

设有

对

正交化，令的特征向量为

有

则

是

的线性无关的特征向量.

由此可知，是矩阵

A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A

的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

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那么经坐标变换即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为又

有

所以由

进而

得

于是

4． 设的所有矩阵

.

【答案】

（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：

E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E

得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0的一个基础解系为

（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如

下：

由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为