2018年陕西省培养单位水土保持与生态环境研究中心603高等数学(丙)之工程数学-线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
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当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
3
．
已知矩阵可逆矩阵
P ，
使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵
A 和B 是否相似，若相似则求出
知
的基础解系，即为
的特征向量
【答案】由矩阵A
的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
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4． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5． 用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：
（1
）