2018年上海财经大学国际工商管理学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得 3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
4．
设
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
记
那么
为三维单位列向量，并且
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
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又且
另外，
由
故可知
为A 的特征值
，为4的
2重特征值
，
为对应的特征向量
.
为A 的3
个
为
4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5．
问
取何值时
，齐次线性方程组
有非零解？
【答案】方程组的系数行列式必须为0. 因
故只有当
或
时，方程组才可能有非零解.
是它的一个非零解；
原方程组成为
显然
6． 设
（1）证明
是它的一个非零解. 因此，当
是A 的
n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值
. 注意到A
为对称阵，故A 与对角阵
=1, 从而R 就是
A 的全部特征值
. 显然R （A ）（A
）=1,
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
或
时，方程组有非零解.
当=0, 原方程组成为
显然当
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先证明
相似，其中
于是只有一个非零对角元，即
其次，求A 的非零特征值，因再求A 的特征向量.
值之和为它的n 个对角元之和，从而由上所证知