2018年中央财经大学财政学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是矩阵得
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，
故
于是
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必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
4．
已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
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那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
二、计算题
5． 已知向量组A
:
B
；证明B 组能由A
组线性表示，但A 组不能由B 组线性表示.
【答案】B 组能由A
组线性表示A 组不能B
组线性表示体计算如下：
于是R （B ）=2，R （B ，A ）=3, 并且上式右端矩阵的后三列所构成矩阵与矩阵A 行等价，继续对它作初等行变换，得
所以R （A ）=3.
合起来有
具
于是，B 组能由A 组线性表示，且A 组不能由B
组线性表示
6． 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次方程组的基础解系：
（1
）（2
）
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