2018年中央财经大学保险学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即 2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
得
故
知
故
【答案】
由题意知
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
3． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
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4． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量
.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
知
的基础解系
，即为
的特征向量
二、计算题
5．
设AP=PA, 其中
求
【答案】因
故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA得有因于是
是三阶对角阵，故
并且记多项式