2018年同济大学经济与管理学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
2．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
3．
设三维列向量组线性无关，
列向量组线性无关.
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
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和向量组线性表示；
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
4．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
所有非零解
_
t 为任
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
二、计算题
5． 设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对
f 的矩阵A 进行讨论
A 正定由
6． 设
性表示.
且由
合起来，当
时，
A 正定，从而f 正定.
是一组n 维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n
维向量都可由它线
，b 线性相关（因它所含向量个
（惟一地）线性表示.
能由
【答案】
必要性：
任给n 维向量b
, 则n 维向量组数大于向量的维数）。
又因
线性无关，可知向量b 必可由
线性表示，则知
7． 设
求
线性无关.
充分性：设任一n 维向量能由
线性表示，特别维单位坐标向量
【答案】把A 写成两个矩阵之和
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