2017年武汉大学数学与统计学院873线性代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设P 是数域，证明：
的充分必要条件是
若
和
分别是齐次线性方程组
和
的解空间.
只有零解.
只有零解，则
则
又
即
即证
因而由①知
再证必要性.
设
矛盾. 从而
2． 计算n 阶行列式
用反证法.
如果
只有零解.
有非零解，
那么
即
这与
且
【答案】先证充分性. 因
其中x=yz
【答案】按第一行展开得
由①式得
3． 计算其中
【答案】
4． 证明：若子空间的和
【答案】设W 中有向量且表法唯一，又设但
表示法唯一，
故
表为
则得
•
从而
不是直和，则W 的每个向量的表示法都不唯一.
即表示法唯一，
是直
和，与假设矛盾. 因此，W 中每个向量的表示法都不唯一.
5． 设P 为数域，如果_
在复数域上无重根.
【答案】在上于是由故
6． 设A 是以未知矩阵. 问：
①a ，b ，c 满足何种关系时【答案】①易知当a=b=c时，有
因此，当a ≠1时方程组无解，当a=l时有无穷多解. 当a=b≠c 时，对施行初等行变换
因此，当a ≠1且c ≠1时方程组无解；当a=l或c=l时有无穷多解. 当a=c≠b 或b=c≠a 时有同上类似结论• ②当a , b , C 互异时时有无穷多解为
而且
当a=b≠c 时，AX=0与
为：
当a=c≠b 或b=c≠a 时可仿上讨论.
_ 为p 上互异的首一不可约多项式，
证明
不可约，且
由最大公因式与数域的扩张无关，故在C 上
在C 上无重因式，当然在C 上无重根.
为P 上互异的首一不可约多项式，则
其中无公共根.
综上所述f （x ）无重根.
于是
为行向量的三阶方阵，X 是3×1
无解、有唯一解和无穷多解？
因此，当a , b , c 互异时方程组
有唯一解；
②a ，b , c 满足何种关系时AX=0只有零解、有无穷多解？并用基础解系表出其一般解.
AX=0只有零解；当a=b=c时，AX=0与与
为任意数.
为其一基础解系，从而其一切解为
为任意数.
同解，
同解，此
为其一基础解系，从而其一切解
为任意数.