2017年华东师范大学金融与统计学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求级数
【答案】由
的和。
得
将上式进行两次逐项求导，得
故
2． 设
其中
数
在
具有连续导数，
且
。 ，故
对任意（x , y ）都成立，从而
且
齐次方程的通解为
。从而非齐次方程的通解为
任意常数，已知
。故
。
。由②得
，
，由①得
为任意常数，
非齐次方程有一特解
为求函
，使沿平面内任一闭曲线C ，有
【答案】由条件知，曲线积分与积分路径无关，从而
3． 己知边长为x=6m与y=8m的矩形，如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ，问这个矩形的对角线的近似变化怎样?
【答案】举行的对角线的长为
，则
当x=6，y=8，△x=0.05，△y=﹣0.1时
所以这个矩形的对角线的长减少大约5cm 。
4． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同
.
图
5． 抛物面最大值与最小值。
【答案】设椭圆上的点为
，则椭圆上的点到原点的距离平方为
满足条件：
作拉格郎日函数
令
。
被平面
截成一椭圆，求这椭球上的点到原点的距离的
，得
式（9-4）-（9-5）
故有由将解得
于是得到两个可能的极值点
由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取得。而
故最大值与最小值分别为
6． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。
7． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，
代入或
。
，不合题意，故舍去。 和
，得
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