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一、分析计算题

1． 化简如图所示的方框图，并求其传递函数

图

【答案】

2． 单位负反馈系统的开环对数幅频特性渐近线如图1所示。

图1

（1）求开环传递函数G （s ）;

（2）由渐近线求系统的增益裕度和相位裕度；

（3）求单位阶跃、单位斜坡、单位抛物线输入下的稳态误差； （4）画出开环系统的Nyquist 图。 【答案】（1）系统开环传递函数为

（2）剪切频率为（3）

增益裕度

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相位裕度为

（4）开环系统的奈奎斯特图如图2所示。其中，箭头方向为频率増大方向。

图2

3． 某最小相位系统，由实验求得其开环频率特性曲线如图（A ）所示，并已用渐近线表示。

试求：（1）系统的开环传递函数; .

（2）绘制出系统的开环对数相频特性曲线；

（3）判断闭环系统的稳定性；若系统稳定，求出系统的相角稳定裕度Y 。 【答案】（1）系统的开环传递函数为

（2）系统的开环对数相频特性曲线如图（B ）所示。

图

（3）系统是稳定的，相角稳定裕度为17°。

4． 如图, 求原点和给定点B 之间的一条光滑曲线，使质点靠重力由原点运动到B 点的时间为最短。

图

【答案】（1）运动分析。由能量守恒方程由坐标上的几何关系，得

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得

令上两式相等，则有

（2）下降时间。上式可以改写为

所以

从而得到下降时间

（3）欧拉方程及首次积分。利用欧拉方程式，有

由

可以看出，F 不显含自变量

所以

因为F 是y 和的函数，所以

由此可见，因而

该式亦称为欧拉方程的首次积分。 （4）方程的求解。由

可得

所以

即

其中C 为待定常数。令

则

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此时欧拉方程变成

即意味着