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一、计算题

1． 为什么弹性碰撞时不应用动能定理, 当恢复因数k=l时是否可以应用？

【答案】弹性碰撞时, 碰撞变形不能全部恢复, 其动能损耗未知, 难以运用动能定理. 当k=l时, 动能无损耗, 可以运用动能定理.

2． 已知图1所示曲线为旋轮线, 其方程为:

一小环M 在重力作用下沿该光滑曲线运动, 求小环的运动微分方程

.

图1

【答案】如图2所示, 以为广义坐标,

图2

选取

时为零势能位置, 可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

3． 均质圆柱体的半径为r , 重为P , 放在粗糙的水平面上. 设其质心C 的初速度为右；同时有图1所示方向的转动s , 其初角速度为圆柱体的中心移动多少距离, 开始作纯滚动

.

且

方向水平向

如圆柱体与平面的动摩擦因数为

f , 问:（1）经过多少时间, 圆柱体才能只滚不滑地向前运动, 并求该瞬时圆柱体中心的速度；（2）

图1

【答案】如图2所示

.

图2

由平面运动微分方程可得:

其中

解得

设经过时间t 之后圆柱体只滚不滑, 此时角速度为

质心速度为V , 则有

解得

所以圆心位移为

4． 如图1所示，

已知

并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。

求力系向点O 的简化结果，

图1

【答案】向O 点简化，如图2（a ）所示，则有

所以

简化为合力，如图2（b ）所示，则有

图2

5． 在光滑水平面上, 两个质量皆为m 的质点由一刚度系数为k 的无重弹簧相连. 若将二质点拉开一段距离再同时释放, 二者将发生振动, 求此振动的周期. 如上述二质点的质量分别为者仍发生振动吗？振动周期为多大？

【答案】对质量相同的两质点构成的系统, 其弹簧中点将保持不动, 对每个质点相当于弹簧弹性数增大一倍, 振动固有频率为

周期为

问二