2018年吉林大学南方研究院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 设B
是
矩阵
逆
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
且A 可对角化，
求行列式
其中E 是n 阶单位矩阵.
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B
的特征值全大于0且
B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
二、计算题
5． 已知向量组
A :
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，
A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，因此
，向量组A 与B 等价.
6
． 判定下列二次型的正定性：
（1
）（2
）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的
1阶主子式
3
阶主子式，即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
，3阶主子式，即
则
2阶主子式
又与不成比例，故R
（A ）=2.
B ：
证明A 组与B
组等价，
则知f 为负定二次型.
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