2018年华中农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 设A
为
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
线性无关.
求
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
是3维非零列向量，若线性无关；
且
令
非零可知，是A 的个
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
即
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
故
二、计算题
5．
设向量组
的秩为2, 求a , b.
【答案】对含参数a 和b
的矩阵
作初等行变换，以求其行阶梯形
.
于是
6．
设
且
求B
【答案】由方
程
合并含有未知矩阵
B
的项，
又
，
其行列式
故A-E 可逆，
用左乘上式两边，即得
得
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