2017年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
故选B.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关
【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
从而
方法2:设由于AB=0, 所以有
考虑到
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设 为空间的两组基，且 又 则（ ）• 【答案】（C ） 【解析】令由②有 将①代入④得 即 5． 设行列式 为f （X ），则方程，f （x ）=0 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得 二、分析计算题 6． 设 为数域K 内的n 个互异数，证明：①以下的n 个多项式是n 维空间 为全体n 次单位根时，求由基线性无关即可，设有K 中数 互异，故 而 使 令得 同理得②由于 线性无关，为一基. 为全体n 次单位根，故 由此得由基 7． 求一个x 次方程使 【答案】 是任意常数. 到基 的过渡矩阵为C （C 的第i 列元素为 代入上式，由于 从而由（4） 到基 的一基： 的过渡矩 ②当K 为复数域且取阵. 【答案】①显然只证 8． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明；若不是，则举出反例； （2）设 都只有一个特征值这里 证明A 与B 相似的充分必要条件是 的特征子空间 分别表示A , B 的属于 【答案】（1）矩阵A 与B 不一定相似，例如： 显然，A 与B 的特征多项式同为（2）必要性. 因为A 与B 相似，所以故 最小多项式同为 相似，从而 但由于A 由3个jordan 块 构成，B 由两个jordan 块构成，是两个不同的jordan 标准形，所以A 与B 不相似. 充分性. 记A , B 的jordan 标准形分别为因为A , B 都只有一个特征值所以都