2017年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的3个线性无关的解，为任意
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
考虑到是的一个特解，所以选C.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
不妨设线性相关.
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并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
又由方法2:设考虑到
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 由上述知 线性相关，所以 于是 因此线性相关，故选A. 5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）. A. 必相等 B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在 若选故选B. 从而否定A , 若选 从而否定C , 中选三个向量组 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 则 线性无关， 线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 二、分析计算题 6． 设A 是 【答案】 第 3 页，共 34 页 实矩阵，求证： 又因为 所以 由 可解得 7． 算出行列式 （1） （2） 的全部代数余子式. 【答案】⑴ （2） 8． 设 其中 求 的维数，并求其一基. 的一个极大无关组，可以此五个向量为列作矩阵A ，并对A 施行 【答案】为求初等行变换： 由于 为 其一基. 且由B 知，第2、3、4列线性无关，是极大无关组，故 的维数为3 且 第 4 页，共 34 页
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