2017年浙江省培养单位宁波材料技术与工程研究所602高等数学(乙)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
【答案】设水池的长为a ，宽为b ，高为c ，则水池的表面积为
约束条件作拉格郎日函数
。
。由
解得
是唯一可能的极值点，由问题本身可知A 一定有最小值，所以表面积
最小的水池的长和宽都应为
2． 设函数
，高为。
应当怎样选择数a ，使得f （x ）成为在【答案】由初等函数的连续性，f （x ）在在
在x=0处，
即f （x ）在x=0处连续。
于是，选择a=1，f （x ）就成为在
3． 求下列方程所确定的隐函数的导数
（1）
内的连续函数? 及
内连续，所以要使f （x ）取a=1，即有
内的连续函数。
内连续，只要选择数a ，使f （z ）在x=0处连续即可。
。
（2）（3）（4）
【答案】（1）在方程两端分别对x 求导，得是由方程
所确定的隐函数。
，从而其中
（2）在方程两端分别对x 求导，
得
是由方程
所确定的隐函数。
从而
从而
其中
（3）在方程两端分别对x 求导，得方程
所确定的隐函数。
其中是由
（4）在方程两端分别对x 求导，得
所确定的隐函数。
4． 计算星形线
【答案】
5． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
，
的全长。
从而其中是由方程
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
小值。
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
6． 设f （x ）的定义域是[0，l]，求下列函数的定义域:
（l ）f （e ）;
x
（2）f （lnx ）; （3）f （arctanx ）; （4）f （cosx ）。 【答案】（l ）因为（2）因为（3）因为（4）因为
，所以，所以
，所以，所以
。
7． 判定下列曲线的凹凸性:
【答案】（1）（2）当当（3）（4）故曲线 8． 设
【答案】分别在
，试求
和
的两端对X 求偏导数，得
。
内是凹的。
时,
, 曲线
在故曲线
令y”=0, 得x=0。
上是凸的。 上是凹的。
, 故曲线
在
内是凹的。 ,
时, y”>0, 曲线y=shx在,
内是凸的
即函数f （ex ）的定义域为
，即函数
。
，即函数f （lnx ）的定义域为[l，e]。
的定义域为[0，tanl]。 ，即函数
的定义域为
由以上方程组解得
相关内容
相关标签