2017年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
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是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于是非齐次线性方程
组的三个线性无关的解，所
以是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
又显然有（否则与
有解矛盾）
，所以从而
基础解系.
考虑到是
的一个特解，所以选C.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（
【答案】D 【解析】
5． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
二、分析计算题
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是
的一个
•
）
6． 计算
【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得
按第1行展开得
（2）当
时，将最后一列拆成两项和，所以
：
由对称性，又有
再由
可解得
7． —堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了，把苹果分成5堆，还多一个扔了，自己拿走一堆，第二只猴子来了，又把苹果分成5堆，又多一个扔了，自己拿走一堆. 以后每只猴子来了都如此办理，问原来至少有多少苹果? 最后至少有多少个苹果？
【答案】设原来有xl 个苹果，5只猴子分得的苹果数依次为
则依题意有：
将后四个方程两端分别加4, 可解得
.
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