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一、选择题

1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

2． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

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中选三个向量组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

3． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）.

A.1 B. C.-1 D.

故

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【答案】B 【解析】

但当a=l时， 5． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

由②有

为空间的两组基，且

二、分析计算题

6． 设列空间从而

设今在

为数域K 上n 阶满秩方阵，其中是齐次线性方程组

则因为中各取一基

故

因此下证

线性无关：设若

则

从而

故

7． 设A 为

即（9）线性无关. 但

维数是n ，故

为A 的两个子块（按行分块）. 证明：n 元

的直和.

的解空间

AX=0解空间为【答案】因为A 满秩，故AX=0的解空间是零子空间，但由第22题知，

实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P , 使得

其中且秩

【答案】因为AA' 乒正定，从而存在正交阵P , 使

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