2017年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
2． 设向量组
是
的一个特解，所以选C.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
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线性无关.
因为 3． 设
所以向量组线性无关.
=（ ）.
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D.
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则分块矩
的伴随矩阵为（ ）.
【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
，
二、分析计算题
6． 设为n 阶行列式
证明：
行列式
和（用N 表示）相等；
当D 为偶数阶反对称行列式时【答案】①由直接拆项可知：
将等号右边两个行列式都从第一列开始，每列都减去下一列，则二者的前n-1列相同，且由拆项（第n 列）性质知，其差就是
②由上题可知，
且行列式
由上即得M=N.
③此时JD 的主对角线上元素的代数余子式都是奇数阶反对称行列式，因而其值都为0; 而非主对角线上元素的代数余子式均有 7． 在
中定义内积为
即
因此N=0.故由（2）知：
即
列都与3的前
中元素~的代数佘子式.
的所有代数余子式的和（用M 表示）与
的所有代数余子式的
求的一组标准正交基（由基
出发作正交化）.
【答案】
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