2017年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是的一个特解，所以选C.
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
的3个线性无关的解，为任意
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
5． 设向量组
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
=（ ）.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设V 是复数域上的n 维线性空间
，
（1）如果
（2）
是
的一特征值，那么
则
：是的不变子空间. 至少有一个公共的特征向量
是V 的线性变换，且是于是
的不变子空间；
. 证明
【答案】（1）设即有
（2）
量. 这时
故
是的不变子空间，令是上的线性变换. 因是复数域上线性空间，在它也是
的属于
的特征向
复数域上必有特征值，
设为上有的属于的特征向量a.
故a 是
7． 设
的公共特征向量.
是秩为r 的n 阶实对称方阵. 证明：存在特殊实上三角形方阵P 使
的充要条件是
式
，
【答案】设（4）成立. 由上题知：由此得反之，设
论显然；故设
。并令
且
有相同的顺序主子式，即
下证（4）成立.
为顺序主子
对n 用归纳法. 当n=l时显然. 假定对n-1成立，下证对忍成立：若则r=0即A=0，结
则有
其中B 为n-1阶对称方阵. 由上题知，A 与
有相同的顺序主子式，故
其中
是B 的k-1阶顺序主子式. 当
得
时
从而
当k>r时，
使
于是由归纳假设，存在n-1阶特殊上三角形方阵
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