2017年上海理工大学理学院831高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （x ）在数集X 上有定义，试解：函数f （x ）在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界 又有下界。
【答案】设f （x ）在X 上有界，即存在M>0，使得
故
即f （x ）在X 上有上界M ，下界-M. 。 反之，设f （x ）在X 上有上界K l ，下界K 2，即
，取
界。
2． 求螺旋线
【答案】由曲线的直角坐标方程为
由方程为
由方程为
，则有，即f （x ）在X 上有
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
得
得
得
，故该螺旋线在xOz 面上的投影曲线的直角坐标，故该螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标
，故该螺旋线在xOy 面上的投影
3．
设星形线，上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在
原点0处有一单位质点，求星形线的第一象限的弧段对这质点的引力。
【答案】取参数t 为积分变量，变化范围为[0，π/2]，对应区间[t，t+dt]的弧长为
该弧段质量为
该弧段与质点的引力大小为
因此曲线弧对这质点引力的水平方向分量、铅直方向分量分别为
因此所求引力
，即大小为
，方向角为。
4． 计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（如图所示）
图
R]，【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[-R，相应的截面等边三角形边长为面积为
，因此体积为
，
5． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
6． 利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1
）
的三角形正向边界； （2
）
（3）由点（0, 0）到
（4）的一段弧。
【答案】（1）设D 为L 所围的三角形闭区域，则由格林公式，
（2）由于
的一段弧；
其中L 是在圆周
由点（0, 0）到点（1, 1）其中L 为在抛物线
上
其中L 为正向星形
线
其中L
为三顶点分别为
和