2017年南京财经大学应用数学学院823高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求平面
【答案】设交线上的点为在约束条件
和和柱面
，它到
的交线上与
平面距离最短的点。
。问题就成为求函数
面上距离的平方为
下的最小值问题。作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
解次方程组，得
可知，距离最短的点必定存在，因此 2． 计算
【答案】添加曲面根据高斯公式得
，面
记
所围成的区域，关于xOy 平面对称，可知
令
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。于是，得可能的极值点就是所求的点。 ，其中
取与y 轴正向相反的一侧。
。由问题本身
取外侧。
，
其中
。
。则
为曲
又
其中
关于x 轴对称，故
3． 利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）确定。
【答案】（1）
，其中闭区域
，其中由不等式
是由球面
所围成的闭区域；
所
（2）在球面坐标系中，不等式为亦即
。因此
，
即
可表示为
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，即
；
变为
，
即
变
，
（图）
图
于是
4． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程
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即