2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】令
，其中f 具有二阶导数，求
，则
。记
。
，
2． 已
知
【答案】设代入方程并整理，得不妨取u=x, 则
则它的通解为
其中
f=2x
故
第 2 页，共 44 页
是齐次线性方
程的通解。
是非齐次线性方程的解，则
的一个解，求非齐次线性方
程
且y 2与y 1线性无关，将非齐次方程化为标准形
3． 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A （1，﹣2, 3），B （2, 3，﹣4），C （2，﹣3，﹣4），D （﹣2，﹣3, 1） 【答案】A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限
4． 利用函数
【答案】先求函数
的三阶泰勒公式，计算
的近似值。
在点（1, 1）的三阶泰勒公式。
又
将以上各项代入三阶泰勒公式. 便得
因此
5． 设函数f （x ）和g （x ）可导，且
【答案】
第 3 页，共 44 页
，试求函数的导数。
6． 设
存在，求下列函数的二阶导数
。
【答案】
7． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（l ）如果函数f （x ）在a 连续，那么│f （x ）│也在a 连续; （2）如果函数│f （x ）│在a 连续，那么f （x ）也在a 连续。 【答案】（1）对。因为（2）错。例如
则│f （x ）│在a=0处连续。而f （x ）在a=0处不连续。
8． 求抛物线
及其在点
处的法线所围成的图形的面积.
2
，所以│f （x ）│也在a 连续。
【答案】用隐函数求导方法，抛物线方程y =2px两端分别对x 求导，得故法线斜率为k=-1，从而得到法线方程为
即得，
，因此所求面积为
（如图所示）
图
9． 计算下列各根式的近似值：
【答案】由
知
第 4 页，共 44 页