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一、简答题

1． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

2． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

二、计算题

3． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场S 沿轴正向，电子磁矩在均匀磁场

中的势能表示

；

这里

为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵

（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：（2）假设（3）求

时，电子自旋指向x 轴正向，即时，电子自旋指向y 轴负向，即

求

时，自旋的平均值。

的几率是多少？

【答案】（1）忽略电子轨道运动，其中，所以哈密顿为：薛定谔方程为：（2）在

是玻尔磁子。

表象中求解，自旋波函数可表示为：

即：

其中，设

因此可得：

时，电子的自旋指向x 轴正向，对应波函数为

在时刻t ，自旋的平均值：

所以：

（3）假设t 时刻，

的几率为P ，则

的几率为

且有：

所以：

4． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设

时刻粒子的波函数是

处于第一激发态的几率

即

可得

所以当n=l时有最小时间，即 5． 在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

解得

求的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：