2018年中国科学技术大学研究生院科学岛分院904原子物理与量子力学之量子力学导论考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
其中本征函数：
求
的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
2． 给定
得到的对角化矩阵
方向的单位矢量：
计算在该态上测量
所得的可能测量值及相应几率。
而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在
为
【答案】（1）
表象中：
表象中的本征态：
的本征值和本征函数。
设
本征值为
本征函数为
则:
解得：当
时，
并利用归一化条件可以取
当（2）设
时，并利用归一化条件，可以取
已知
因此测量
可能的测量值为
其中结果为1的
概率为：
结果为-1的概率为：
3． （1）求算符【答案】⑴
即算符⑵则
4． 设
不对易.
得证.
的对易关系. （2）证明
其中
是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.
在
表象中的的矩阵形式；
（1）写出粒子的自旋算符
（2）将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线性组合.
【答案】⑴•
（2）由公式
且令
其中n 为正整数，则上式即
题中
利用公式则
结合
可得
5． 一粒子在一维无限深势阱中运动，求粒子的能级和对应的波函数.
【答案】由一维定态薛定谔方程有
又在边界处应该满足连续条件