2017年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之高等数学考研强化模拟题
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2017年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之高等数学考研强化模拟题（一） ... 2 2017年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之高等数学考研强化模拟题（二） ... 8 2017年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之高等数学考研强化模拟题（三） . 18 2017年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之高等数学考研强化模拟题（四） . 24 2017年湖南师范大学资源与环境科学学院610高等数学之高等数学考研强化模拟题（五） . 39
一、计算题
1． 选用适当的坐标计算下列各题:
（1）（2）闭区域:
（3）（4）
，其中D 是由直线y=x，y=x+a，y=a，y=3a（a>o）所围成的闭区域; ，其中D 是圆环形闭区域
。
，其中D 是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域;
，其中D 是由圆周
及坐标轴所围成的在第一象限内的
【答案】（1）D 如图11所示. 根据D 的形状，选用直角坐标较宜。
，
故
图1
（2）根据积分区域D 的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜.
，故
（3）D 如图2所示. 选用直角坐标为宜. 又根据D 的边界曲线的情况，宜采用先对x 、后对y 的积分次序. 于是
图2
（4）本题显然适于用极坐标计算。
。
2． 求曲线y=tanx在点
【答案】设曲线在点
处的曲率圆方程。
处的曲率中心的坐标为, 则
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
3． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
【答案】由题意知
又
所
以
。
4． 设正项级数
和
都收敛，证明级数
收敛，故有从而
故由比较审敛法知
收敛。
上表达式为f （x ）=e。试将f （x ）展开成复
-x
。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿
周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
，因此湿周函数的定义域
为
得
，而h>o
且
也收敛。
由极限定义知，存
【答案】根据题设条件知级数在正函数N ，当n ≥N 时，有
5． 设f （x ）是周期为2的周期函数。它在数形式的傅里叶级数。
【答案】f （x ）满足收敛定理的条件，且除了点
外处处连续，则
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