2018年东北林业大学野生动物资源学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2．
设
为任意常数.
记
证明：
为三维单位列向量，并且
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
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【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
故A
有零特征值
的非零解即为对应的特征
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
3．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
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进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为故其通解为k 为任意常
数.
4．
已知A
是
矩阵，齐次方程组的基础解系是
与
有非零公共解
，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换
，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（
Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
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