2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
为任意常数.
且秩
的值.
即或
贝
因为A 是
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
4． 已知
，求
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且
B 是对称矩阵
，因此B
是正定矩阵，
且
【答案】令则且有1
所以
二、计算题
5． 求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1, 0
, 1, 0,
0），（1, -1
, 0, 0
, 0）.
【答案】因的秩为2, 故满足要求的方阵可以是
6． 设
是m
阶矩阵的特征值，
证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值，是对应于它的特征向量. 即有
相关内容
相关标签