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一、解答题

1． 设A

为

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

2．

已知

与

相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使

得

有

有惟一解知

则方程组

. 即

即

可逆.

矩阵

且

有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有非零解，这与

有非零解，即存在

为可逆矩阵，

且方程组

【答案】由

于故B 的特征值

为

从而B

可以对角化为

分别求令

所对应的特征向量，

得

有

即a=5.

由

得A ，B 有相同特征值

，

故

再由得b=-2, c=2，于是

分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得

：令

有

.

因此

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即

记

则P 可逆，

且

3． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

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其中t 为任意常数.

4．

已知

且.

求

故

【答案】

由题意知又

又

知

即

得

故

知

二、计算题

5． 设A , B

都是

矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.

【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相

同的标准形

6．

设

【

于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.

，（k 为正整数），证明E-A 可逆，

并且其逆矩阵

答

案

】

由

则知E-A 可逆，

且其逆矩阵 7．

设

求

【答案】直接计算得

一般可得

事实上，当k=1时，（1）式显然成立； 设当k=n时，（1）式成立，那么当时，

由归纳法，知（1）式成立.

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