2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
得那么
综上可知
，
是的基础解系.
3．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
其中E
是四阶单位矩阵
4．
已知
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对作恒等变形，
有
即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
二、计算题
5． 设有向量组A
:
（1）向量B 不能由向量组A 线性表示；
（2）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一；
（3）向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式. 【答案】
记矩阵
，那么方程AX=B（1
）有解
可由向量组A 线性表示，
（1）当方程（1）的系数行列式
方程（1）有惟一解，从而向量B 能由向量组A 线性表示，且表示式惟一； （2）当a=-4时，增广矩阵
及向量
问为何值时
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