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一、计算题

1． 在

表象中，

求自旋算符在

表象中的矩阵表示为：

则

的本征方程为：

a 、b 不全为零的条件是久期方程：

解得：故

的本征值为：时的本征函数为：

时的本征函数为：

将本征值代入①式，可得：

方向投影算符

的本征值和相应的本征态。

【答案】在

2． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

3． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数

，

代表

（自旋向上）的状态波函数，

代表

简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态

相比，相差一

代表自旋向上的概率

，

代表自旋向下的概率，归一化表示为

：

4． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势示）。

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

第一激发态：

（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。

5． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。

【答案】单电子波函数的空间部分：

二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：

中运动。

表

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以

6． 证明

式中A 为归一化常数

，

是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量.

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

7． 设两个电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是能和u （r ）相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。

【答案】这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，有：

其中

分别为谐振子第m 、n 个能量本征函数。

（2）当

时，由这两电子组成的体系波函数为：

其中：

如果电子之间的库仑

（1）当m=n时，由这两电子组成的体系波函数为：