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一、计算题

1． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.

【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为

（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为

对应能量为

.

（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是

对应能量为

.

（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知

对应的本征函数有4个：

是交换反对称的，要配对称的空间波函数；

是交换对称的，要配反对称

对应能量为

.

的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是

2． 设t=0

时刻氢原子处于

状态，其中子哈密顿算符的正交归一化本征波函数. 求：（1） t=0时刻，体系能量的平均值.

（2）t=0时刻，体系角动量平方的平均值.

（3）t=0时刻，体系角动量x 分量的平均值. （4）

时刻，

体系所处的状态

【答案】（1）由题意可知n=2，

3

故t=0时，体系能量平均值为

（2）由题意知1=1，2则

的平均值为

（3）由关系式

另外，由正交归一条件有

故t=0时平均值为

（4）时刻体系所处的状态为

是氢原

3． —体系初始时刻的态为

（1）求（2）如果对（3）如果对

其中

进行了测量，并得到结果

计算不确定度

可得

本征值为

故

可能测得值为

及它们的乘积

测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？

【答案】（1）由公式故

（2）由题意，m=-l，0, 1

而

概率

概率

概率（3）易知

于是有

.

因此