2017年闽南师范大学粒计算重点实验室912高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （t ）在
内有连续导数，且满足
（1）求f （t ） （2）计算【答案】（1）在令（2）令
，则
，则
则
且P 、Q 有连续一阶导，则分，即
故
2． 设有一半径为R 、中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数μ。在圆心处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图建立坐标系，则相应小区间[θ，θ+dθ]的弧长为直方向引力分量为0，水平方向的引力分量为
故所求引力大小为
，方向为M 指向圆弧的中心。
，根据对称性可知所求的铅
是某函数F （x , y ）的全微
是点
至
的任意光滑曲线。
两边同时对x 求导得
图
3． 设函数
由方程
（1） 即令
及
, 故得到函数惟一驻点
确定, 求f （x ）的极值。
【答案】由题意, 在方程两边同时对x 求导一次, 得到
在（l ）式两边同时对x 求导一次, 得
把x=l, y=-2, y’（l ）=0代入, 得
4．
设
是
上从
取得最大值。
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
到, 故函数
在x=1处取得极小值y=-2。
的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
令故
。
得唯一驻点
，由于
，所以
为极大值，即最大值，
5． 判别下列方程中哪些是全微分方程? 对于全微分方程，求出它的通解。
【答案】
因
，故原方程是全微分方程。
故所求通解为