2017年中国石油大学(华东)地球科学与技术学院601地学数学基础考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 一向量的终点在点B （2，﹣1，7），它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，﹣4和7. 求这向量的起点A 的坐标.
，则
【答案】设A 点坐标为（x ，y ，z ）
由题意知
2-x=4，﹣1-y=﹣4，7-z=7
故x=﹣2，y=3, z=0，因此A 点坐标为（﹣2，3，0）. 2． 求由
所决定的隐函数对x 的导数
【答案】方程两端分别对x 求导, 得
3． 设有一平面薄板（不计其厚度），占有xoy 面上的闭区域D ，
薄板上分布有面密度为
的电荷，且
任取一点
， 则
在D 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q.
，其面积也记为
.
. 通过求和、取极限，便
上分布的电荷
【答案】用一组曲线网将D 分成n 个小闭区域得到该板上的全部电荷为
其中
4． 利用导数验证下列等式:
。
【答案】
5． 判定下列级数的收敛性：
【答案】（1）知原级数发散。
（2）（3
）
而级
数
据比值审敛法知
（4）
敛法知原级数发散。
（5）
因
由于一般项不趋于零，故级数发散。
是收敛的（事实上
，
因
而级数
发散，故由极限形式的比较审敛法
，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数
发散，故由极限形式的比较审
由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为
6． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。
曲面在点
，记
处的法向量为与
的夹角为
，则所求的余弦值为
3
7． 一物体按规律x=ct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
，阻力为，故
，由此得到
。
。
，
面的法向量为
8． 设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为（7士0.1） cm 和（24士0.1） cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.
【答案】设两直角边长度分别为x 和y ，利用勾股定理，得斜边长度为
计算得
当x=7，y=24，
时，计算得
即计算斜边长度z 的绝对误差约为0.124cm.
9． 求曲线y=sinx往具有下列横坐标的谷点处切线的斜率:
【答案】由导数的几何意义知
10．求抛物线
被圆
所截下的有限部分的弧长。
得到两曲线的交点为
，
因此所求弧长为 。
【答案】联立两曲线方程