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一、综合题

1． 设一粒子在一有心势场中运动，试问守恒的量有哪几个。（不计自旋） 【答案】在有心势场中，哈密顿算符是：

而角动量符与对易。 又因为

都和对易，所以

都是守恒量。

，即也是守恒量。 而哈密顿不含所以

2． 设单粒子的归一化波函数为试用它表示出下列概率： （1）粒子坐标; r 介于与之间，（2）【答案】

同时粒子动量分量，

3． 对电子，求在

表象下的【答案】在表象下，

的矩阵表示。 因为在表象下

所以有：

所以：可得：

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只和有关，与r 无关。因此这些角动量算符与r

的函数对易。因此

（3）粒子动量分量满足：

则有：

所以：则有: 4．

设

为

的能量本征值为

的非简并本征函数，如果

可看作微扰。试写出

能级的微扰论修正公式（写到二级修正）。 【答案】一级近

似

5． 已知氢原子的基态波函数为【答案】在

的球壳内粒子出现的几率为：

由当

时，

_

可得：

几率最小位置：

所以，几率最大处的径向坐标

6． 对于处于势场如下关系

：

【答案】由位力定理可知：

因此

7． 设已知在

的共同表象中，算符

的矩阵为

求它的本征值和归一化的

得证。

中的一维粒子，证明在其基态下的动能和势能的平均值满足

求几率最大处的径向坐标r 。 二级近

似

其

中

本征函数，最后将矩阵对角化。 【答案】

的本征值为

的归一化的本征函数为：

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从的共同表象变到表象的变换矩阵为：

利用S 可使对角化：

8． 对于一维谐振子，

取基态试探波函数形式为【答案】设基态波函数，

归一化，得：

取

则有：

由. 考虑

得：

为参数。用变分法求基态能量。

处要求有限的条件，取：

将式代入式，得谐振子（一维）基态能量：

与严格解求得的结果完全一致。

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