● 摘要
计算机辅助几何设计（computer aided geometric design，以下简称CAGD）与计算机层析成像（computed tomography，以下简称CT）是复杂机械构件设计与检测的重要实现手段，在航空复杂件的设计与优化中经常需要在实体测试件的CT截面扫描数据的基础上进行三维体重构，以便对已有的设计方案进行改进。本文针对这两个领域中的若干基础问题进行了深入研究，得出了相应定理及相关算法。 1）Bézier曲线变上限积分。给出了Bézier曲线的变上限积分推导过程及以Bézier曲线为元素的抽象集合的结构。通过特殊定义的等价关系，将给定Bézier曲线的所有变上限积分归为等价类，从而使该Bézier曲线同高一次的Bézier曲线构成的集合中的某个等价类构成一一映射关系；进而给出了不同次数的Bézier曲线构成的抽象集合之间的结构关系。 2）一类新的广义Ball曲线。给出了新型的广义Ball曲线——“偏Said-Ball型广义Ball曲线（PSB曲线）”的定义，并证明了构成该曲线的基函数（PSB基）的单位分解性；给出了PSB基与构成Bézier曲线的Bernstein基之间的转换矩阵，并证明了相应的转换定理。证明了与PSB曲线相关的Marsdon恒等式，并在证明Marsdon恒等式的过程中附带的给出了三个组合恒等式。3）基于对称变换群的快速滤波反投影算法。针对计算机层析成像（CT）中的一类重建算法——滤波反投影（FBP）算法的计算量主要集中在反投影部分的事实，采用对称变换群将重建图像的像素归为等价类，进而归并相关乘法运算，降低反投影计算的复杂度，得到一个快速重建算法；并通过与已有算法的比较，证明本文提出的快速滤波反投影算法在重建速度上具有明显的优势。4）基于正六边形网格的快速滤波反投影算法。利用正六边形在所有能无缝铺满整个平面的正多边形中具有最多对称轴的特点（共六条，正三角形有三条，正方形有四条），结合对称变换群的性质对计算机层析成像（CT）中的滤波反投影（FBP）算法进行了优化，降低了算法中反投影部分的计算复杂度，从而得到一个快速重建算法；并通过仿真实验与已有快速重建算法进行比较，表明文中算法在同等条件下重建速度明显提高。最后本文针对滤波反投影算法（FBP）中的“杯状效应”，通过对重建得到的CT值中的最小负值设置阈值因子来重新调整图像的归一化结果，进而得到一种新的边缘检测方法。